Trình trực quan hóa trị riêng
Tìm đa thức đặc trưng chính xác của ma trận vuông có các phần tử là phân số. Các trị riêng hữu tỉ và các trị riêng thực bậc hai có vectơ riêng chính xác; nghiệm thực bậc cao hơn được cô lập chính xác, còn nghiệm phức bậc cao hơn là giá trị xấp xỉ số.
Ma trận vuông kích thước từ 1 × 1 đến 8 × 8, dài tối đa 20.000 ký tự, có các phần tử chính xác tối đa 100 chữ số; phép phân tích nhân tử xử lý nhân tử bậc tối đa 24. Mọi phép tính được thực hiện trên thiết bị của bạn trong tiến trình nền, giới hạn 15 giây. Tệp tải xuống gồm báo cáo JSON, CSV trị riêng và đồ thị SVG. Mỗi hàng trên một dòng hoặc ngăn cách bằng dấu chấm phẩy; các phần tử như 3, -0.5 hoặc 2/3. Tối đa 20.000 ký tự. Kiểm tra cài đặt trước khi chạy.
Kết quả của bạn
Trình trực quan hóa trị riêng
- Dán ma trận vuông, mỗi hàng trên một dòng, chẳng hạn 4 1 và 2 3.
- Chạy công cụ trực quan hóa để tính và phân tích đa thức đặc trưng thành nhân tử.
- Đọc loại trị riêng, bội, các vectơ riêng được hỗ trợ và trạng thái chéo hóa. Trạng thái null nghĩa là phương pháp chưa xác định được.
- Tải xuống báo cáo JSON, CSV các trị riêng hoặc đồ thị.
Điều cần biết
Ma trận vuông kích thước từ 1 × 1 đến 8 × 8, dài tối đa 20.000 ký tự, có các phần tử chính xác tối đa 100 chữ số; phép phân tích nhân tử xử lý nhân tử bậc tối đa 24. Mọi phép tính được thực hiện trên thiết bị của bạn trong tiến trình nền, giới hạn 15 giây. Tệp tải xuống gồm báo cáo JSON, CSV trị riêng và đồ thị SVG.
Phương pháp chính xác
Đa thức đặc trưng det(tI - A) được tính bằng hệ thức truy hồi Faddeev-LeVerrier với phân số chính xác và đối chiếu với định thức. Đa thức được phân tích trên trường số hữu tỉ. Nghiệm hữu tỉ và nghiệm bậc hai thực cho vectơ riêng chính xác lấy từ không gian nghiệm của A - tI, được xác minh bằng phép nhân. Không tính vectơ riêng ứng với các loại nghiệm khác. Phương pháp: Strang, Introduction to Linear Algebra, ấn bản thứ 5, chương 6 (2016); Faddeev và Faddeeva, Computational Methods of Linear Algebra (1963).
Các nhân tử bậc cao
Các nghiệm thực của nhân tử bất khả quy bậc ba trở lên được cô lập chính xác bằng dãy Sturm và hiển thị kèm giá trị thập phân. Nghiệm phức của các nhân tử đó là giá trị xấp xỉ số có phần dư đa thức. Phần dư nhỏ giúp kiểm tra nghiệm ứng viên; nó không chứng minh rằng đã tìm thấy mọi nghiệm phức hay tính được đầy đủ cơ sở riêng.
Đồ thị
Với ma trận 2 × 2 có trị riêng thực, đồ thị hiển thị đường tròn đơn vị, ảnh của nó và các hướng bất biến. Nếu không, đồ thị hiển thị các trị riêng trên mặt phẳng phức.