固有値の可視化
分数を成分とする正方行列の特性多項式を厳密に求めます。有理固有値と二次式の実固有値には厳密な固有ベクトルが付きます。高次因子の実根は厳密に分離し、その複素根は数値近似です。
1×1から8×8までの正方行列に対応します。入力は20,000文字まで、各成分は100桁以下の厳密値です。因数分解は次数24以下の因子に対応します。端末上のバックグラウンド処理で計算し、制限時間は15秒です。JSONレポート、固有値のCSV、グラフのSVGをダウンロードできます。 一行ずつ入力するか、セミコロンで区切ります。3、-0.5、2/3 などを入力できます。 最大20,000文字。 実行前に設定を確認してください。
処理結果
固有値の可視化
- 4 1 と 2 3 のように、正方行列を一行ずつ貼り付けてください。
- 可視化ツールを実行して特性多項式を計算し、因数分解してください。
- 固有値の種類、重複度、対応する固有ベクトル、対角化可能性を確認してください。状態が null の場合、この方法では判定できていません。
- JSONレポート、固有値のCSV、またはグラフをダウンロードします。
できること・制限
1×1から8×8までの正方行列に対応します。入力は20,000文字まで、各成分は100桁以下の厳密値です。因数分解は次数24以下の因子に対応します。端末上のバックグラウンド処理で計算し、制限時間は15秒です。JSONレポート、固有値のCSV、グラフのSVGをダウンロードできます。
厳密な方法
特性多項式 det(tI - A) はFaddeev-LeVerrier漸化式を使い、厳密な分数演算で計算して行列式と照合します。有理数体上で因数分解します。有理根と二次式の実根については、A - tI の零空間から厳密な固有ベクトルを求め、行列積で検証します。他の種類の根に対する固有ベクトルは計算しません。方法: Strang, Introduction to Linear Algebra 第5版、第6章 (2016); Faddeev and Faddeeva, Computational Methods of Linear Algebra (1963)。
高次因子
三次以上の既約因子の実根はSturm列で厳密に分離し、小数値とともに表示します。これらの因子の複素根は、多項式の残差を伴う数値近似です。残差が小さいと候補根を確認できますが、すべての複素根を見つけたことや完全な固有基底を計算したことの証明にはなりません。
グラフ
実固有値を持つ2×2行列では、単位円、その像、不変方向をグラフに表示します。それ以外の場合は複素平面上に固有値を表示します。