תצוגת ערכים עצמיים
מצאו את הפולינום האופייני המדויק של מטריצה ריבועית של שברים. לערכים העצמיים הרציונליים ולשורשים ממשיים של גורמים ריבועיים מצורפים וקטורים עצמיים מדויקים; שורשים ממשיים של גורמים ממעלה גבוהה יותר מבודדים במדויק, ושורשיהם המרוכבים הם קירובים מספריים.
מטריצות ריבועיות בגודל 1×1 עד 8×8, עד 20,000 תווים, עם איברים מדויקים בני עד 100 ספרות; הפירוק לגורמים משתמש בגורמים עד מעלה 24. הכול מחושב במכשירכם בתהליך רקע, עם מגבלת זמן של 15 שניות. ניתן להוריד דוח JSON, קובץ CSV של הערכים העצמיים ותרשים SVG. שורה אחת בכל שורה או הפרדה בנקודה־פסיק; איברים כגון 3, -0.5 או 2/3. עד 20,000 תווים. בדקו את ההגדרות לפני ההרצה.
התוצאה שלכם
תצוגת ערכים עצמיים
- הדביקו מטריצה ריבועית, שורה אחת בכל שורה, כגון 4 1 ולאחריה 2 3.
- הריצו את המציג כדי לחשב את הפולינום האופייני ולפרק אותו לגורמים.
- קראו את סוגי הערכים העצמיים, הריבויים, הווקטורים העצמיים הנתמכים ואת מצב הלכסינות. מצב null פירושו שהשיטה לא קבעה אותו.
- הורידו את דוח JSON, את קובץ ה־CSV של הערכים העצמיים או את התרשים.
מה צפוי לקרות
מטריצות ריבועיות בגודל 1×1 עד 8×8, עד 20,000 תווים, עם איברים מדויקים בני עד 100 ספרות; הפירוק לגורמים משתמש בגורמים עד מעלה 24. הכול מחושב במכשירכם בתהליך רקע, עם מגבלת זמן של 15 שניות. ניתן להוריד דוח JSON, קובץ CSV של הערכים העצמיים ותרשים SVG.
שיטה מדויקת
הפולינום האופייני det(tI - A) מחושב באמצעות נוסחת הרקורסיה של Faddeev-LeVerrier בשברים מדויקים ונבדק מול הדטרמיננטה. הוא מפורק מעל המספרים הרציונליים. שורשים רציונליים ושורשים ריבועיים ממשיים מניבים וקטורים עצמיים מדויקים ממרחב האפס של A - tI, והם מאומתים בכפל. וקטורים עצמיים עבור סוגי שורשים אחרים אינם מחושבים. השיטה: Strang, Introduction to Linear Algebra, מהדורה 5, פרק 6 (2016); Faddeev ו־Faddeeva, Computational Methods of Linear Algebra (1963).
גורמים ממעלה גבוהה יותר
שורשים ממשיים של גורמים אי־פריקים ממעלה שלישית ומעלה מבודדים במדויק באמצעות סדרות שטורם ומוצגים עם ערך עשרוני. שורשים מרוכבים של גורמים אלה הם קירובים מספריים עם שאריות פולינומיות. שארית קטנה בודקת שורש מועמד; היא אינה מוכיחה שכל השורשים המרוכבים נמצאו או שחושב בסיס עצמי מלא.
תרשים
במטריצה 2×2 עם ערכים עצמיים ממשיים התרשים מציג את מעגל היחידה, את תמונתו ואת הכיוונים האינווריאנטיים. אחרת הוא מציג את הערכים העצמיים במישור המרוכב.