Sajátérték-megjelenítő
Határozza meg egy törteket tartalmazó négyzetes mátrix karakterisztikus polinomját egzakt alakban. A racionális, illetve valós másodfokú sajátértékekhez egzakt sajátvektorok tartoznak; a magasabb fokú valós gyököket egzakt módon izolálja, a magasabb fokú komplex gyököket pedig numerikusan közelíti.
Az 1 × 1-estől a 8 × 8-asig terjedő négyzetes mátrixok legfeljebb 20 000 karakteresek lehetnek, legfeljebb 100 számjegyű egzakt elemekkel; a faktorizálás legfeljebb 24-edfokú tényezőket használ. Minden számítás az eszközén, háttérfolyamatban történik, legfeljebb 15 másodpercig. A letölthető fájlok JSON-jelentés, sajátértékeket tartalmazó CSV és SVG-ábra. Soronként egy sor, vagy pontosvesszővel elválasztva; az elemek például 3, -0.5 vagy 2/3 lehetnek. Legfeljebb 20 000 karakter. Futtatás előtt tekintsd át a beállításokat.
Az eredményed
Sajátérték-megjelenítő
- Illesszen be négyzetes mátrixot soronként egy sorral, például: 4 1, majd 2 3.
- Futtassa a megjelenítőt a karakterisztikus polinom kiszámításához és tényezőkre bontásához.
- Tekintse meg a sajátértékek típusát, multiplicitását, a támogatott sajátvektorokat és a diagonalizálhatóság állapotát. A null állapot azt jelenti, hogy a módszer ezt nem határozta meg.
- Töltse le a JSON-jelentést, a sajátértékek CSV-fájlját vagy az ábrát.
Mire számíthatsz
Az 1 × 1-estől a 8 × 8-asig terjedő négyzetes mátrixok legfeljebb 20 000 karakteresek lehetnek, legfeljebb 100 számjegyű egzakt elemekkel; a faktorizálás legfeljebb 24-edfokú tényezőket használ. Minden számítás az eszközén, háttérfolyamatban történik, legfeljebb 15 másodpercig. A letölthető fájlok JSON-jelentés, sajátértékeket tartalmazó CSV és SVG-ábra.
Egzakt módszer
A det(tI - A) karakterisztikus polinomot egzakt törtekkel, a Faddeev–LeVerrier-rekurzióval számítja ki, majd a determinánssal ellenőrzi. Ezután racionális számok felett tényezőkre bontja. A racionális és valós másodfokú gyökökhöz az A - tI magteréből egzakt sajátvektort számít, és szorzással ellenőrzi. Más típusú gyökökhöz nem számít sajátvektorokat. Módszer: Strang, Introduction to Linear Algebra, 5. kiadás, 6. fejezet (2016); Faddeev és Faddeeva, Computational Methods of Linear Algebra (1963).
Magasabb fokú tényezők
Az irreducibilis, legalább harmadfokú tényezők valós gyökeit Sturm-sorozattal egzakt módon izolálja, és tizedes közelítésben is megjeleníti. E tényezők komplex gyökei polinomiális maradékkal megadott numerikus közelítések. A kis maradék ellenőrzi a gyökjelöltet, de nem bizonyítja, hogy az összes komplex gyököt megtalálta, vagy hogy teljes sajátvektor-bázist számított.
Ábra
Valós sajátértékű 2 × 2-es mátrix esetén az ábra az egységkört, annak képét és az invariáns irányokat mutatja. Egyébként a sajátértékeket ábrázolja a komplex síkon.