逆関数エクスプローラー
関数が定義域全体または指定した制限範囲で単射かどうかを確認し、厳密な逆関数を求めます。単射でない場合は、同じ出力になる二つの入力をレポートに示します。
関数は1,000文字、一変数、入れ子24段、各数値100桁までです。制限条件は厳密値を使い、200文字までです。すべて端末上のバックグラウンド処理で計算し、制限時間は15秒です。JSONレポート、往復代入のCSV、グラフのSVGをダウンロードできます。 x のように変数を一つ使用し、累乗には ^ を使用してください。 最大1,000文字。 実行前に設定を確認してください。
処理結果
逆関数エクスプローラー
- x^2 - 4x + 1 のような関数を入力してください。
- 必要に応じて x >= 2 のように定義域を制限してください。
- エクスプローラーを実行し、単射性、逆関数の式、逆関数の定義域を確認してください。
- JSONレポート、往復代入のCSV、またはグラフをダウンロードします。
できること・制限
関数は1,000文字、一変数、入れ子24段、各数値100桁までです。制限条件は厳密値を使い、200文字までです。すべて端末上のバックグラウンド処理で計算し、制限時間は15秒です。JSONレポート、往復代入のCSV、グラフのSVGをダウンロードできます。
単射性の確認
多項式関数と有理関数では、定義域の各区間で導関数の符号を厳密に調べ、各区間の像を比較します。関数が折り返す場合は、同じ出力になる二つの入力を証拠として示します。変数が一回だけ現れる式では、exp、ln、sqrt など各ステップの狭義単調性を利用し、abs や偶数乗の符号変化も確認します。方法: OpenStax, College Algebra 2e 第3.7節 Inverse Functions (2021)。
逆関数を求める
対応する形式が x に関する一次式または二次式の場合、方程式 y = f(x) を厳密に解きます。二次式の各枝は、許可された定義域のすべての区間で符号が証明された場合のみ出力します。区間ごとに異なる枝が必要な場合は、レポートに branch-not-determined と表示して式を空欄にします。往復代入のサンプルは根拠にとどまります。変数が一回だけ現れる式は手順ごとに逆変換し、逆関数の定義域は対応する f の厳密な値域になります。
この方法の限界
区分的な逆関数の式、三次以上の式、x*exp(x) や sin(x) のような式は出力しません。単射性と逆関数の式の状態は別です。この方法で式を表せなくても逆関数が存在する場合があります。グラフと数値による往復代入は根拠であり、証明ではありません。