Дослідник рекурентних співвідношень
Точно виведіть члени рекурентної послідовності, а для лінійних рекурентних співвідношень зі сталими коефіцієнтами знайдіть замкнену форму за характеристичними коренями. Також можна перевірити власний здогад для кожного обчисленого члена.
Вхідні дані обмежено 1 000 символами; порядок рекурентного співвідношення — не більше 10, степінь неоднорідного полінома — не більше 3, кількість членів — від 1 до 200; точні значення можуть сягати 1 024 цифр. Усе обчислюється на вашому пристрої у фоновому потоці з лімітом 15 секунд. Для завантаження доступні звіт JSON і CSV із членами. Спершу запишіть рекурентне співвідношення, а потім початкові значення через кому або з нового рядка. До 1 000 символів. Перевірте налаштування перед запуском.
Ваш результат
Дослідник рекурентних співвідношень
- Введіть рекурентне співвідношення та початкові значення, наприклад a(n) = a(n-1) + a(n-2), a(0) = 0, a(1) = 1.
- За бажанням додайте здогад, наприклад guess: a(n) = 2^n - 1, і виберіть кількість членів для виведення.
- Запустіть дослідник і перегляньте члени, характеристичні корені та замкнену форму.
- Завантажте звіт JSON або CSV із членами.
Що варто знати
Вхідні дані обмежено 1 000 символами; порядок рекурентного співвідношення — не більше 10, степінь неоднорідного полінома — не більше 3, кількість членів — від 1 до 200; точні значення можуть сягати 1 024 цифр. Усе обчислюється на вашому пристрої у фоновому потоці з лімітом 15 секунд. Для завантаження доступні звіт JSON і CSV із членами.
Замкнені форми
Для a(n) = c1 a(n-1) + ... + ck a(n-k) + f(n), де f — поліном, характеристичний поліном точно розкладається на множники. Кожен корінь r кратності m дає члени r^n, n r^n тощо; поліноміальний частинний розв'язок враховує f, а сталі визначаються початковими значеннями. Підтримуються раціональні корені та корені вигляду p + q*sqrt(d). Метод: Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 8-ме видання, розділ 8.2 (2019).
Перевірки
Замкнену форму точно обчислюють для кожного обчисленого члена, і значення мають збігатися. Здогад порівнюють почленно; збіг для скінченної кількості членів є підтвердженням, але не доведенням.
Інші рекурентні співвідношення
Нелінійні рекурентні співвідношення, наприклад a(n) = n*a(n-1), точно розгортаються, але замкнену форму для них не знайдено. Комплексні характеристичні корені та корені кубічних або вищих множників позначаються як непідтримувані, а не вгадуються.