Explorer für Rekursionsbeziehungen
Listen Sie die Glieder einer Rekursion exakt auf und bestimmen Sie bei linearen Rekursionen mit konstanten Koeffizienten die geschlossene Form anhand der charakteristischen Wurzeln. Sie können auch Ihre eigene Vermutung mit jedem berechneten Glied vergleichen.
Eingaben sind auf 1.000 Zeichen, Rekursionsordnung 10, Polynome f vom Grad 3 und 1 bis 200 Glieder begrenzt; exakte Werte dürfen bis zu 1.024 Stellen haben. Alles wird auf Ihrem Gerät in einem Hintergrundprozess mit einem Zeitlimit von 15 Sekunden berechnet. Downloads: ein JSON-Bericht und eine CSV-Datei der Glieder. Schreiben Sie zuerst die Rekursion und danach die Anfangswerte, getrennt durch Kommas oder neue Zeilen. Bis zu 1.000 Zeichen. Prüfe die Einstellungen vor dem Start.
Dein Ergebnis
Explorer für Rekursionsbeziehungen
- Geben Sie die Rekursion und die Anfangswerte ein, zum Beispiel a(n) = a(n-1) + a(n-2), a(0) = 0, a(1) = 1.
- Optional können Sie eine Vermutung wie guess: a(n) = 2^n - 1 hinzufügen und die Anzahl der aufzulistenden Glieder wählen.
- Führen Sie den Explorer aus und lesen Sie die Glieder, charakteristischen Wurzeln und die geschlossene Form.
- Laden Sie den JSON-Bericht oder die CSV-Datei der Glieder herunter.
Was du wissen solltest
Eingaben sind auf 1.000 Zeichen, Rekursionsordnung 10, Polynome f vom Grad 3 und 1 bis 200 Glieder begrenzt; exakte Werte dürfen bis zu 1.024 Stellen haben. Alles wird auf Ihrem Gerät in einem Hintergrundprozess mit einem Zeitlimit von 15 Sekunden berechnet. Downloads: ein JSON-Bericht und eine CSV-Datei der Glieder.
Geschlossene Formen
Für a(n) = c1 a(n-1) + ... + ck a(n-k) + f(n) mit einem Polynom f wird das charakteristische Polynom exakt faktorisiert. Jede Wurzel r der Vielfachheit m liefert r^n, n r^n usw.; eine partikuläre polynomiale Lösung berücksichtigt f, und die Konstanten ergeben sich aus den Anfangswerten. Unterstützt werden rationale Wurzeln und Wurzeln der Form p + q*sqrt(d). Methode: Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 8. Auflage, Abschnitt 8.2 (2019).
Prüfungen
Die geschlossene Form wird für jedes berechnete Glied exakt ausgewertet und muss übereinstimmen. Eine Vermutung wird Glied für Glied verglichen; Übereinstimmung bei endlich vielen Gliedern ist ein Beleg, kein Beweis.
Andere Rekursionen
Nichtlineare Rekursionen wie a(n) = n*a(n-1) werden exakt entwickelt, aber es wird keine geschlossene Form bestimmt. Komplexe charakteristische Wurzeln und Nullstellen kubischer oder höhergradiger Faktoren werden als nicht unterstützt gemeldet, statt geschätzt zu werden.