Исследователь рекуррентных соотношений
Точно перечислите члены рекуррентного соотношения; для линейных соотношений с постоянными коэффициентами найдите замкнутую форму по характеристическим корням. Также можно проверить свою гипотезу по каждому вычисленному члену.
Ввод ограничен 1 000 символами; порядок рекуррентного соотношения — не выше 10, степень многочлена неоднородной части — не выше 3, число членов — от 1 до 200. Точные значения могут достигать 1 024 цифр. Вычисления выполняются на устройстве в фоновом процессе с лимитом 15 секунд. Доступны отчёт JSON и CSV с членами. Сначала запишите рекуррентное соотношение, затем начальные значения, разделив их запятыми или переводами строки. До 1 000 символов. Проверьте настройки перед запуском.
Ваш результат
Исследователь рекуррентных соотношений
- Введите рекуррентное соотношение и начальные значения, например a(n) = a(n-1) + a(n-2), a(0) = 0, a(1) = 1.
- При желании добавьте гипотезу, например guess: a(n) = 2^n - 1, и выберите число членов для вывода.
- Запустите исследователь и изучите члены, характеристические корни и замкнутую форму.
- Скачайте отчёт JSON или CSV с членами последовательности.
Что нужно знать
Ввод ограничен 1 000 символами; порядок рекуррентного соотношения — не выше 10, степень многочлена неоднородной части — не выше 3, число членов — от 1 до 200. Точные значения могут достигать 1 024 цифр. Вычисления выполняются на устройстве в фоновом процессе с лимитом 15 секунд. Доступны отчёт JSON и CSV с членами.
Замкнутые формы
Для a(n) = c1 a(n-1) + ... + ck a(n-k) + f(n), где f — многочлен, характеристический многочлен точно раскладывается на множители. Каждый корень r кратности m даёт слагаемые r^n, n r^n и т. д.; частное полиномиальное решение учитывает f, а константы определяются начальными значениями. Поддерживаются рациональные корни и корни вида p + q*sqrt(d). Метод: Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 8-е издание, раздел 8.2 (2019).
Проверки
Замкнутая форма точно вычисляется для каждого рассчитанного члена и должна совпадать с ним. Гипотеза сравнивается с членами по очереди; совпадение для конечного числа членов служит подтверждением, но не доказательством.
Другие рекуррентные соотношения
Нелинейные рекуррентные соотношения, например a(n) = n*a(n-1), раскрываются точно, но замкнутая форма не приводится. Комплексные характеристические корни и корни кубических либо более высоких по степени множителей отмечаются как неподдерживаемые, а не угадываются.