점화식 탐색기
점화식의 항을 정확히 나열하고, 상수 계수 선형 점화식은 특성근을 이용해 닫힌형식을 구합니다. 직접 세운 추측도 계산된 모든 항과 비교할 수 있습니다.
입력은 1,000자, 차수 10, 3차 이하의 강제 다항식, 항 1~200개로 제한되며 정확한 값은 1,024자리까지 늘어날 수 있습니다. 기기의 백그라운드 작업자가 최대 15초 동안 계산합니다. JSON 보고서와 항의 CSV를 다운로드할 수 있습니다. 점화식을 먼저 쓰고 쉼표나 줄바꿈으로 구분해 초기값을 입력하세요. 최대 1,000자까지 입력할 수 있습니다. 실행하기 전에 설정을 검토하세요.
내 결과
점화식 탐색기
- a(n) = a(n-1) + a(n-2), a(0) = 0, a(1) = 1과 같은 점화식과 초기값을 입력하세요.
- 선택적으로 guess: a(n) = 2^n - 1과 같은 추측을 추가하고 나열할 항의 개수를 선택하세요.
- 탐색기를 실행해 항, 특성근, 닫힌형식을 확인하세요.
- JSON 보고서 또는 항의 CSV를 다운로드하세요.
알아두세요
입력 길이는 최대 1,000자, 점화식 차수는 최대 10입니다. 비동차항에 쓰는 다항식의 차수는 최대 3이며, 계산할 수열의 항은 1~200개입니다. 정확한 값은 1,024자리까지 커질 수 있습니다. 기기의 백그라운드 작업자가 최대 15초 동안 계산합니다. JSON 보고서와 항의 CSV를 다운로드할 수 있습니다.
닫힌형식들
f가 다항식인 a(n) = c1 a(n-1) + ... + ck a(n-k) + f(n)에서는 특성다항식을 정확히 인수분해합니다. 중복도 m인 각 근 r은 r^n, n r^n 등의 항을 만들고, 다항식 특수해가 f를 처리하며, 상수는 초기값에서 구합니다. 유리근과 p + q*sqrt(d) 꼴의 근을 지원합니다. 방법: Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, 제8판, 8.2절 (2019).
검사
계산된 모든 항에 대해 닫힌형식을 정확히 계산해 일치해야 합니다. 추측은 항별로 비교하며 유한한 항에서의 일치는 근거일 뿐 증명이 아닙니다.
기타 점화식
a(n) = n*a(n-1)과 같은 비선형 점화식은 정확히 전개하지만 닫힌형식을 제공하지 않습니다. 복소 특성근과 삼차 이상 인수의 근은 추측하는 대신 지원되지 않는다고 보고합니다.