漸化式エクスプローラー
漸化式の各項を厳密に列挙し、定数係数線形漸化式については特性根から閉形式を求めます。自分の予想を計算済みの各項と照合することもできます。
入力は1,000文字、次数10、強制多項式の次数3、項数1～200までです。厳密値は1,024桁まで増えることがあります。すべて端末上のバックグラウンド処理で計算し、制限時間は15秒です。JSONレポートと項のCSVをダウンロードできます。 漸化式を先に記述し、初期値はカンマまたは改行で区切って入力してください。 最大1,000文字。 実行前に設定を確認してください。
処理結果
漸化式エクスプローラー
- a(n) = a(n-1) + a(n-2)、a(0) = 0、a(1) = 1 のように、漸化式と初期値を入力してください。
- 必要に応じて guess: a(n) = 2^n - 1 のような予想を追加し、表示する項数を選択してください。
- エクスプローラーを実行し、各項、特性根、閉形式を確認してください。
- JSONレポートまたは項のCSVをダウンロードします。
できること・制限
入力は1,000文字、次数10までです。強制多項式は次数3以下に制限されます。計算する数列の項数は1～200です。厳密値は1,024桁まで増えることがあります。すべて端末上のバックグラウンド処理で計算し、制限時間は15秒です。JSONレポートと項のCSVをダウンロードできます。
閉形式
f が多項式である a(n) = c1 a(n-1) + ... + ck a(n-k) + f(n) では、特性多項式を厳密に因数分解します。重複度 m の各根 r は r^n、n r^n などの項を与え、多項式の特解が f を処理し、定数は初期値から決まります。有理根と p + q*sqrt(d) の形の根に対応します。方法: Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications 第8版、第8.2節 (2019)。
検査
閉形式は計算した各項で厳密に評価され、一致する必要があります。予想は項ごとに比較しますが、有限個の項で一致しても根拠にとどまり、証明にはなりません。
その他の漸化式
a(n) = n*a(n-1) のような非線形漸化式は厳密に展開しますが、閉形式は求めません。複素特性根や三次以上の因子の根は推測せず、未対応として報告します。