Tutor zur Polynomfaktorisierung
Faktorisieren Sie ein Polynom vollständig über den rationalen Zahlen und sehen Sie, mit welcher Methode jeder Faktor gefunden wurde. Für jeden Faktor vom Grad 2 oder höher wird bewiesen, dass er sich nicht weiter zerlegen lässt.
Polynome sind auf 1.000 Zeichen, eine Variable, Grad 24, führende und konstante Koeffizienten mit 12 Stellen nach Beseitigung der Brüche und 20.000 rationale Nullstellenkandidaten begrenzt; exakte Werte können bis zu 1.024 Stellen haben. Alles wird auf Ihrem Gerät in einem Hintergrundprozess mit einem Zeitlimit von 15 Sekunden berechnet. Downloads: ein JSON-Bericht und eine CSV-Faktorentabelle. Eine Variable, ganzzahlige Exponenten und exakte Zahlen wie 1/2. Bis zu 1.000 Zeichen. Prüfe die Einstellungen vor dem Start.
Dein Ergebnis
Tutor zur Polynomfaktorisierung
- Geben Sie ein Polynom mit einer Variablen ein, zum Beispiel 3x^5 - 3x^4 - 12x + 12.
- Führen Sie den Tutor aus, um den größten gemeinsamen Faktor auszuklammern und besondere Muster zu prüfen.
- Lesen Sie die faktorisierte Form, die Methodenschritte und den Irreduzibilitätsbeweis für jeden Faktor.
- Laden Sie den JSON-Bericht oder die CSV-Tabelle der Faktoren herunter.
Was du wissen solltest
Polynome sind auf 1.000 Zeichen, eine Variable, Grad 24, führende und konstante Koeffizienten mit 12 Stellen nach Beseitigung der Brüche und 20.000 rationale Nullstellenkandidaten begrenzt; exakte Werte können bis zu 1.024 Stellen haben. Alles wird auf Ihrem Gerät in einem Hintergrundprozess mit einem Zeitlimit von 15 Sekunden berechnet. Downloads: ein JSON-Bericht und eine CSV-Faktorentabelle.
Erklärte Methoden
Der Tutor klammert zunächst den größten gemeinsamen Faktor aus und sucht dann nach einer Differenz von Quadraten, einer Summe oder Differenz von Kuben, einem binomischen Quadrat, der ac-Methode für quadratische Polynome und Gruppierung bei Kubikpolynomen mit vier Termen. Anschließend wendet er den Satz über rationale Nullstellen an und zerlegt mehrfache Faktoren. Methode: OpenStax, College Algebra 2e, Abschnitt 1.5 Factoring Polynomials (2021).
Wie Irreduzibilität bewiesen wird
Ein quadratisches oder kubisches Polynom ohne rationale Nullstelle lässt sich nicht über den Rationalen faktorisieren. Ab Grad 4 faktorisiert das Werkzeug das Polynom modulo mehrerer Primzahlen: Stimmen die möglichen Faktorgrade nie überein, gibt es keinen Faktor. Andernfalls hebt es die modularen Faktoren mit dem Hensel-Lifting an und prüft jede Kombination; das ist der Zassenhaus-Algorithmus. Methode: von zur Gathen und Gerhard, Modern Computer Algebra, 3. Auflage, Kapitel 14 und 15 (2013).
Reelle Nullstellen
Für jeden Faktor zählt der Bericht seine reellen Nullstellen exakt mit einer Sturm-Folge und führt die exakten Nullstellen quadratischer Faktoren auf, zum Beispiel sqrt(2).